การเดินทางของ Golden proportion จากจุดเริ่มต้นถึงจุดจบ

paper ในฝั่งทันตแพทย์ที่เริ่มมีการใช้ Golden proportion คือ ต้องย้อนไปในปี ค.ศ. 1973 โดย Dr.Richard E. Lombardi เขียนหลักการนำมาใช้ในการสร้าง denture

ชื่อ paper The Principles of Visual Perception and Their Clinical Application to Denture Esthetics

นำมาใช้กับสัดส่วนของฟัน และ appearance ที่ค่อยๆ มองเห็นซี่ฟันที่ลดลงเป็นลำดับสัดส่วนที่คงที่ครับ

สัดส่วนที่คงที่นั้นคือ 1/1.618 = 0.618

โดยทำให้การมองเห็นวัตถุค่อยๆ เล็กลง คือ วัตถุที่อยู่ใกล้มองเห็นขนาดใหญ่กว่า และวัตถุที่ไกลออกไปเห็นน้อยลงทีละนิด เรียกมุมมองแบบ Perspective view

การลดลงของ Appearance ใน frontal view ตั้งแต่ Central incisor, Lateral, … จะลดลงด้วยสัดส่วนคงที่ = 0.618 หรือพูดในทางกลับกันว่า ขนาดฟันที่มองเห็นจะค่อยๆ เพิ่มขึ้นจากซี่หลังสุดมาด้านหน้าด้วยตัวคูณเพิ่มซี่ละ = 1.618 (0.618 และ 1.618 เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน คือ 1/0.618 = 1.618)

นั่นคือ เป็นการนำ Golden proportion = 1/1.618 = 0.618 มาใช้เป็นการลดลงของการมองเห็นฟันหน้าทีละนิด (diminution gradually) โดยการคูณแบบตรงๆ จาก Central incisor เข้าไป posterior เรื่อยๆ ไม่ได้ modify หรือ adjust อะไรเลย

ถือเป็นจุด start ของการนำค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์มาใช้กับงาน Esthetic ทางทันตกรรม ซึ่งจัดเป็น Subjective perception

ก่อนจะไปต่อถึงการวิวัฒนาการนำตัวเลขนี้มาใช้ จะขออธิบายถึงที่มาของตัวเลขค่าคงที่นี้ครับ ว่า Golden proportion สัมพันธ์กับ Fibonacci number อย่างไร?

ย้อนจากปี ค.ศ.1973 ขึ้นไปอีก 800 ปี คือในปี ค.ศ.1175 (ตรงกับ พ.ศ.1718 คือ ก่อนจะสถาปนา อาณาจักรสุโขทัย) เป็นปีเกิดนักคณิตศาสตร์คนนึงชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปิซา (Leonardo da Pisa หรือ Leonardo of Pisa) เกิดช่วงเดียวกับการเริ่มก่อสร้าง หอเอนปิซา

ชื่อ Leonardo และเป็นชาวเมืองปิซา จึงถูกเรียกตามชื่อเมือง

Leonardo da Pisa ได้แต่งตำราคณิตศาสตร์ขึ้นหลายเล่มโดยใช้นามปากกาว่า ฟิโบนักชี (Fibonacci) ซึ่งมาจากคำย่อภาษาละตินอีกที คำนั้นคือ Filius Bonacci (แปลว่า son of Bonacci) ใช่แล้วครับ คุณพ่อของ Leonardo da Pisa ชื่อ โบนักชี (Bonacci)

ในบรรดาตำราคณิตศาสตร์ที่เขียนหลายเล่ม มีอยู่เล่มนึงดังมาก ชื่อหนังสือคือ Liber Abaci (แปลจากละตินเป็น eng ว่า Book of Abacus แปลเป็นไทยอีกทีว่า “หนังสือแห่งการคำนวณ“) มันถูกเขียนในปี ค.ศ.1202 (พ.ศ.1745 ถ้ายังไม่ลืมว่า พ่อขุนรามคำแหงสร้างอักษรไทยลงในศิลาจารึกหลักที่ 1 ในปี พ.ศ.1826) นั่นคือ Book of Calculation เล่มนี้เขียนก่อนจะมีตัวอักษรไทยนั่นเอง

เนื้อหาของ Liber Abaci คือเป็นการนำระบบตัวเลขแบบอารบิค (0,1,2,…,9) มาแทนที่ระบบตัวเลขโรมัน จากที่ Leonardo ได้รู้จักระบบตัวเลข Arabic ในระหว่างการเดินทาง และชอบระบบนี้เพราะใช้ในการคำนวณได้ง่ายและสะดวกกว่า ยกตัวอย่างเช่น จำนวน 56 จะเขียนแบบโรมันได้ = LVI

ในหนังสือ Liber Abaci นอกจากจะแนะนำตัวเลขระบบ Arabic แล้วยังเขียนถึงปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจหลายปัญหา และหนึ่งในปัญหาเหล่านั้นคือ ปัญหาที่ถูกเรียกว่า

ปัญหากระต่ายของฟิโบนักชี (Fibonacci’s rabbit problem)

โจทย์คือ จะมีกระต่ายกี่คู่ในระยะเวลา 1 ปี โดยมีเงื่อนไขดังนี้

1.เริ่มต้นจากการมีกระต่าย 1 คู่ เป็นกระต่ายตัวผู้กับตัวเมียอย่างละ 1 ตัว

2.กระต่ายจะใช้เวลา 2 เดือน จึงจะ mature หลังจากนั้นจะผสมพันธ์กันจนออกลูกเป็นกระต่ายเล็กๆ 1 คู่ (กระต่ายที่ออกมาจะเป็นตัวผู้ 1 ตัวเมีย 1 เสมอทุกครั้ง)

3.กระต่ายที่ออกมาแล้วเมื่อโตเต็มที่ ก็จะออกลูก 1 คู่ในทุกๆ เดือน

4.กระต่ายทุกตัวไม่มีตัวใดตายเลย

วาดเป็นรูปภาพได้ดังนี้

จากรูปจะเห็นว่า ยิ่งเวลามากขึ้น จำนวนกระต่ายจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว จนผ่านไปหลายเดือนเช่น 12 เดือนตามโจทย์การนับจะเป็นไปอย่างลำบากมาก

แต่ถ้าเรามองลำดับของคู่กระต่ายในแต่ละเดือนจะได้ดังนี้

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , …

ความสัมพันธ์ของลำดับตัวต่อมาจะ = ผลรวมของ 2 จำนวนก่อนหน้านั้น โดย

จำนวนลำดับที่ 2 จะ = 1 + จำนวนก่อนหน้า (ซึ่งไม่มี) = 1

จำนวนลำดับที่ 3 = 1 + 1 = 2

จำนวนลำดับที่ 4 = 2 + 1 = 3

จำนวนลำดับที่ n = (จำนวนที่อยู่ตำแหน่ง n-1) + (จำนวนที่อยู่ในตำแหน่ง n-2)

ลำดับที่มีความสัมพันธ์แบบนี้ เรียกว่า จำนวนฟีโบนักชี (Fibonacci number) ซึ่งมีความสำคัญคือ

มีการสังเกตพบว่า สิ่งต่างๆ ในธรรมชาติหลายอย่างมีลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับจำนวนนี้

ยกตัวอย่างเช่น รูปร่างของเปลือกหอย

เริ่มจากช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 หน่วย (กว้าง 1 x ยาว 1)

ต่อมาเพิ่มเป็น Fibonacci number ลำดับที่ 2 (คือ 1)

ต่อมาเพิ่มเป็น Fibonacci number ลำดับที่ 3 (คือ 2)

ต่อมาเพิ่มเป็น Fibonacci number ลำดับที่ 4 (คือ 3)

ต่อมาเพิ่ม Fibonacci number ลำดับที่ 5 (คือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 5 x 5 เข้าไปในรูป)

สุดท้าย (ของตัวอย่างนี้) คือ เพิ่ม Fibonacci number ลำดับที่ 6 (คือ จัตุรัส 8 x 8)

จากนั้นลากเส้นจากมุมจัตุรัส 1×1 เชื่อมไปจนถึง 8×8

ลอง superimpose กับเปลือกหอยจริง

นั่นคือ เปลือกหอยมี growth สัมพันธ์กับช่วงเวลาสอดคล้องกับ Fibonacci number นั่นเอง

นักคณิตศาสตร์ได้คิดสูตรเพื่อหาจำนวนลำดับที่ n ใดๆ ไว้ดังนี้

Fibonacci number ในลำดับที่ n (Fn)

สูตรนี้มีชื่อว่า Binet’s Fibonacci number formula ครับ โดย n ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก เท่านั้น

จาก ปัญหากระต่ายของฟิโบนักชี (Fibonacci’s rabbit problem)

โจทย์คือ จะมีกระต่ายกี่คู่ในระยะเวลา 1 ปี ? คือ โจทย์ให้หาจำนวนกระต่ายทั้งหมดในเดือนที่ 12

แทนค่า F(12) ได้ดังนี้

ใน 1 ปี จะได้กระต่ายทั้งหมด 144 คู่ครับ

อันนี้เอามาให้ดูเล่นๆ ถ้าเลี้ยงกระต่ายของ Fibonacci ไปเรื่อยๆ ถึง 50 เดือน

ตอนนี้เราเข้าใจลำดับของ Fibonacci number ในระดับนึงละครับ

ลองนำลำดับมาเรียงเหมือนเดิมแบบนี้

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , …

แล้วนำพจน์ข้างหน้า มาเป็นตัวหารของแต่ละลำดับ จะได้

1/1 , 2/1 , 3/2 , 5/3 , 8/5 , 13/8 , 21/13 , 34/21 , 55/34 , 89/55 , 144/89 , 233/144 , …

หารผลลัพธ์ออกมาเป็น ทศนิยม 3 ตำแหน่ง ได้

1 , 2 , 1.5 , 1.666 , 1.625 , 1.615 , 1.619, 1.618 , 1.618 , 1.618 , 1.618 , …

จะเห็นว่าในตอนเริ่มต้น ค่าที่ได้จะสลับกันมีค่าต่ำกว่า และสูงกว่า ค่า 1.618 แต่เมื่อคิดต่อไปเรื่อยๆ จนถึงลำดับที่ 8 เป็นต้นไป ค่าจะเข้าสู่ 1.618 เข้าไปเรื่อยๆ จนไม่เปลี่ยนแปลงอีก

ทดลองใช้ลำดับที่ 50 / ลำดับที่ 49

พบว่า ค่ายังนิ่งที่ 1.618 ครับ

(ข้อสังเกตตรงนี้คือ สัดส่วนนี้จะเกิดขึ้นจากลำดับที่อยู่ติดกัน ทีละคู่ ให้นึกถึงการนำไปใช้กับ appearance ของฟัน Central incisor, Lateral incisor และ Canine ซึ่งอยุ่ในลำดับที่ติดกันนะครับ)

Leonardo da Pisa คือคนที่พบลำดับ Fibonacci number

แต่ผู้ที่พบ Golden ratio คือ Luca Pacioli ครับ ในปี ค.ศ.1494

คือ 300 ปีหลังจากหนังสือ Liber Abaci ของ Leonardo da Pisa (ปีที่ตีพิมพ์ Golden ratio คือ พ.ศ.2037 ตรงกับสมัยพระเชษฐา ที่ครองราชย์ต่อจากพระราชบิดา(สมเด็จพระบรมไตรโลกนาถ))

จากหนังสือคณิตศาสตร์ที่เขียนชื่อ

Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (แปลเป็น eng ชื่อ Summary of arithmetic, geometry, proportions and proportionality)

ในหนังสือเรียก Golden proportion ว่า De divina proportion แปลว่า สัดส่วนศักดิ์สิทธิ์

ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ϕ (อ่านว่า Phi (ฟี)) แทนค่า Golden proportion

เมื่อนำความสัมพันธ์ของ Golden proportion มาแสดงให้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะได้ดังรูป

a + b is to a คือ (a + b)/a

a is to b คือ a/b

a + b is to a as a is to b คือ (a+b)/a = a/b

แปลเป็นไทย คือ สัดส่วนของชิ้นที่ยาวต่อชิ้นที่สั้น จะเท่ากับ ความยาวโดยรวมทั้งหมดต่อชิ้นที่ยาว

แก้สมการโดยจัดรูปใหม่

(a+b)/a = a/b

(a/a) + (b/a) = a/b

1 + (b/a) = a/b , กำหนดให้ a/b = ϕ

1 + (1/ϕ) = ϕ , ใช้ ϕ คูณทั้ง 2 ข้าง

ϕ + 1 = ϕ^2

ϕ^2 – ϕ -1 = 0

ใช้สูตรกำลังสองสัมบูรณ์

ϕ = 1.618 or -0.618

จะเห็นว่า ค่า ϕ มีที่มาจากสัดส่วนของ Fibonacci number ในลำดับที่ติดกัน หรือ นิยามของจำนวนที่อยู่ใน De divina proportion

เนื่องจากค่า ฟี (ϕ) มี square root 5 ติดอยู่ในตัวมัน เราจึงจัดให้ค่า ϕ เป็นจำนวนอตรรกยะ (irrational number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ (เขียนได้เป็นเศษส่วนที่ติด square root) แต่ค่า ϕ ไม่จัดเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) เพราะยังเป็นคำตอบของสมการพีชคณิตได้ (จากการแก้สมการ ϕ^2 – ϕ -1 = 0 )

เราลองมาทดสอบดูว่า ถ้าค่า Fibonacci number หรือ ค่า Golden proportion (ϕ) มีอยู่ในธรรมชาติอยู่แล้ว ถ้าสายตามนุษย์มองว่า อะไรที่ได้สัดส่วน 1.618 จะมี esthetic ที่โดดเด่น สิ่งก่อสร้างหรือ สถาปัตยกรรม ที่มีชื่อเสียง สามารถนำมาทดสอบกับค่านี้ ได้หรือไม่?

ตัวอย่างแรก คือ พระพุทธชินราช ครับ

พระพุทธรูปปางมารวิชัยในซุ้มเรือนแก้ว สร้างในสมัยสุโขทัยตอนต้น

มาลองดูมิติขององค์พระ

หน้าตัก 5 ศอก 1 คืบ 5 นิ้ว = (5×50) + (1×25) + (5×2.54) = 287.7 ซม.

สูง 7 ศอก = 7×50 = 350 ซม.

แต่เนื่องจากมีซุ้มเรือนแก้ว

(ขอไม่วาดในองค์พระจริงนะครับ)

ได้ความสูงจากฐานองค์พระ ถึง ยอดซุ้มเรือนแก้ว = (14.5 x 350)/10.9 = 465.596 ซม.

คิดสัดส่วน ความสูงทั้งหมด / ความกว้างหน้าตัก = 465.596 / 287.7 = 1.61834

มีหลายเหตุผลที่ทำให้พระพุทธชินราชมีลักษณะที่งดงาม และเป็นต้นแบบในการหล่อสร้างพระพุทธรูปอื่น แต่สัดส่วนความสูงต่อหน้าตัก ก็น่าจะเป็นเหตุหนึ่ง เพราะเข้าใกล้ Golden proportion อย่างน่าอัศจรรย์มาก

ทีนี้ลองมาดูตัวอย่างที่ 2 ครับ

คือ องค์พระปฐมเจดีย์ สร้างและต่อเติมมาหลายครั้ง จนครั้งสุดท้ายคือเจดีย์ที่เราเห็นเป็น ช่วงกรุงรัตนโกสินทร์

มิติขององค์พระ

สูง 3 เส้น 1 คืบ 10 นิ้ว = (3×40) + (1×0.25) + (10×0.0254) = 120.504 ม.

ฐานวัดโดยรอบ 5 เส้น 17 วา 3 ศอก = (5×40) + (17×2) + (3×0.50) = 235.5 ม.

2πr = πd = 235.5

d = 235.5/π = 74.962

สัดส่วนความสูงจากฐานถึงยอดองค์เจดีย์ / ความกว้างของฐานองค์เจดีย์

= 120.504 / 74.962 = 1.608

ซึ่งถือว่าใกล้เคียง 1.618 มากครับ คลาดเคลื่อนไป = {(1.618-1.608)/1.608}/100 = 0.622%

(ข้อสังเกตคือ พระปฐมเจดีย์จะอยู่บนฐานที่สูงมาก จนหนุนให้องค์พระดูเด่น ถ้าเรารวมความสูงของฐานที่ตั้งเข้าไป ratio น่าจะเข้าใกล้ 1.618 เข้าไปอีก แต่ผมหาความสูงของฐานไม่ได้ เลยคิดเท่าที่มีข้อมูลอยู่)

ทีนี้ขอกลับมาเรื่อง dental esthetic ครับ

หลังจาก Dr.Richard E. Lombardi แนะนำ Golden proportion มาใช้ในทางทันตกรรมในปี ค.ศ.1973

คนที่เริ่มนำ Golden proportion มา modify เป็นคนแรกคือ Dr.Edwin I. Levin ปี ค.ศ.1978

อุปกรณ์ที่เห็นในรูปคือ วงเวียนครับ แต่ไม่ใช่วงเวียนไก่กา มันเป็นวงเวียนที่ถูกสร้างขึ้นเพื่อวัด Golden proportion โดยเฉพาะ เรียกว่า Golden proportion calipers ถูกคิดขึ้นตั้งแต่ปี ค.ศ.1954 เวลาใช้งานเมื่อกางออกมาจะวัดเป็น 2 part คือ ส่วนที่สั้น กับ ส่วนที่ยาว ซึ่งแน่นอนจะเข้าสัดส่วนทองเสมอ

หลักคิดของ Dr.Levin จะให้ฟัน Central incisor เป็นฟันที่เด่นชัดสุด และ Lateral incisor ถือว่าเห็นได้เต็มทั้งซี่ครับ Golden proportion ที่ใช้จึงให้ Lateral incisor = 1 เสมอ

ดังนั้นสัดส่วนจึงเป็น Central : Lateral : Canine = 1.618: 1 : 0.618

หรือ พูดอีกอย่างว่า Central : Lateral : Canine = 1 : 0.618 : 0.38 ( จาก 0.618/1.618 = 0.382)

มีการใช้ Grids line เป็นตัว check สัดส่วน จะเห็นว่า Dr.Levin ใช้กับสัดส่วนของ face และคำนึงถึง arch form ด้วยนะครับ (คือ คิด Buccal corridor เข้าไปด้วย)

อีก 21 ปีต่อมา

Dr.Stephen R. Snow ในปี ค.ศ.1999

paper ชื่อ Esthetic Smile Analysis of Maxillary Anterior Tooth Width: The Golden Percentage

สิ่งที่ Dr.Snow ต้องปรับการใช้ Golden proportion ใหม่มาจากปัญหานี้ครับ

ปกติการนำ proportion มาใช้จะพิจารณาแบบ Unilateral ครับ คือ Central, Lateral incisor และ Canine ที่อยู่ใน Quadrant ฝั่งเดียวกันมาคิด แบบนี้

(ตัวเลขสีเหลือง คือ การนับซี่ฟันแบบ Universal numbering system ไม่ต้องสนใจ, ส่วนสีเขียวคือ Golden proportion ที่ใช้ ให้ lateral เป็น 1, central = 1.618 และ canine = 0.618)

จากรูปถ้าแนวการเรียงตัวของฟันทั้งขวาและซ้ายสมมาตรกัน ก็ไม่มีปัญหาครับ

ทีนี้ถ้าเจอแบบเคสต่อมา

จะเห็นว่า #11,21 ขนาดฟันก็เท่าๆ กัน แต่ถ้าเราใช้ Golden proportion แบบแยกฝั่งเป็นขวาและซ้าย คิดของใครของมัน คนละ Quadrant จะพบว่า ratio ของ #11,12,13 = 1.64:1.0:0.91 ขณะที่ Q2 #21,22,23 = 2.57:1.0:1.07

จะเห็นว่า ทั้งที่ #11,21 ขนาดเท่ากันเป๊ะ แต่ ratio ที่วัดได้กลับได้ตัวเลขไม่เท่ากัน

ลองมาดูอีกเคส

อันนี้ดูด้วยตาก็รู้ว่า ขนาด #21 กว้างกว่า #11 แน่ๆ แต่พอวัด ratio แบบแยกฝั่ง ผลออกมา #21 สัดส่วนดันแคบกว่าซี่ #11 เฉยเลย ( 1.61 กับ 1.67)

Dr.Snow จึงบอกว่า เอาละ อย่ากระนั้นเลย เราวัดทั้ง 6 ซี่หน้าบนรวมกัน แล้วคิดเป็น ratio ในครั้งเดียวกันเลยดีกว่า

วิธีการคือทำแบบนี้ครับ

ฟันซี่ # 13: 12: 11: 21: 22: 23 = 0.618: 1: 1.618: 1.618: 1: 0.618

ได้ผลรวมของ ratio ทั้ง 6 ซี่หน้า = 0.618+1+1.618+1.618+1+0.618 = 6.472

จากนั้นนำผลรวม 6.472 ไปหารฟันทุกซี่

0.618/6.472 : 1/6.472 : 1.618/6.472 : 1.618/6.472 : 1/6.472 : 0.618/6.472

= 0.095 : 0.155 : 0.25 : 0.25 : 0.155 : 0.095

= 9.5% : 15.5% : 25% : 25% : 15.5% : 9.5%

ปัดเศษให้จำง่าย = 10% : 15% : 25% : 25% : 15% : 10%

ในฟันที่เรียงแบบ ideal จะเป็นแบบนี้ครับ

ในเคสเดิม เมื่อปรับมาใช้ Golden ration แบบใหม่ จะเห็นว่าสัดส่วนเข้ากับความจริงมากขึ้น

เคสนี้ #11,21 เท่ากันแล้ว

เคสนี้ #21 กลับมามี ratio ที่มากกว่า #11 ตามการรับรู้จริง

Golden proportion ที่ได้รับการ modify ใหม่โดย Dr.Snow เรียกชื่อใหม่ว่า Golden percentage หรือ Golden mean

ต่อมาเมื่อเข้าสู่ยุค Internet

Golden proportion ก็ถูกทดสอบครั้งสำคัญในทางปฏิบัติจริงครับ งานวิจัยจะใช้การปรับเปลี่ยนรูปร่างฟันในสัดส่วนต่างๆ (รวมถึงสัดส่วน Golden proportion, Golden mean และใช้ ration อื่นๆ) โดยใช้ Application แต่งรูป แล้วนำรูปที่ผ่านการปรับแต่งที่ได้ไปทดสอบโดยการส่งให้ทันตแพทย์ในที่ต่างๆ ประเมินว่า ratio ใดที่ esthetic ดีที่สุด (ส่งข้อมูลแล้วรับตอบกลับทาง e-mail)

ผลการทดสอบที่ออกมา พบว่า Golden proportion (และ Mean) ทำให้ทันตแพทย์ส่วนใหญ่เกิดความพึงพอใจในบางกรณีเท่านั้นครับ

ปี ค.ศ.2000 งานของ Dr.S.F Rosential และคณะ

paper ชื่อ Dentists’ Preferences of Anterior Tooth Proportion–A Web-Based Study

พบว่า Golden proportion ให้ผลดีในฟันที่มีความสูงของ Clinical crown มากๆ เท่านั้น (ฟันที่มี width/heigh ต่ำ)

ยิ่งฟันที่สั้นหรือสั้นมาก ratio ที่ทำให้ดูสวย ตัวคูณจะสูงขึ้นไปถึง 0.8 (Central: Lateral: Canine = 1: 0.8: 0.64)

ซึ่งสอดคล้องกับการศึกษาในปี ค.ศ.2007 โดย Dr.Daniel H Ward

A Study of Dentists’ Preferred Maxillary Anterior Tooth Width Proportions: Comparing the Recurring Esthetic Dental Proportion to Other Mathematical and Naturally Occurring Proportions

ข้อสรุปของ paper

การใช้สูตร Golden proportion ถูกลดรูปลงไปรวมในแนวคิดใหม่ที่ชื่อ Recurring Esthetic Dental (RED) proportion ครับ

RED มีวิธีคิดที่เพิ่มขึ้นคือ การนำความสูงของ Clinical crown ฟัน Central incisor มาคิดด้วยครับ

คือ สิ่งแรกที่เราต้องทำคือ หาค่านี้ออกมาก่อนเลย เพื่อดูว่าฟันอยู่ในกลุ่มใด?

tall หรือ normal หรือ short teeth โดยดูจาก width/height ratio ของ Central incisor ครับ

1. ในฟันที่มี Clinical crown ปกติ (ใน 75-78% w/h ratio) ให้ปรับมาใช้ 70% RED proportion

คือ Central incisor: Lateral: Canine = 100% : 70% : (70×70%) = 1: 0.7 : 0.49

2. ในฟันที่มีความสูงมาก (Clinical crown มี w/h< 66%) คือ เป็น tall teeth ให้ใช้ 62% RED proportion (ซึ่งก็ = Golden proportion นั่นเอง)

คือ Central : Lateral : Canine = 1 : 0.618 (~0.62): (0.618×0.618) = 1: 0.62: 0.38

3. สำหรับฟันธรรมชาติ จากการ survey ในฝรั่ง (North America) โดย Dr.Jack D. Preston

การศึกษาพบว่า มีฟันที่ fit กับ Golden proportion อยู่น้อยมากในธรรมชาติ (คือ พบว่า Central incisor: Lateral = 1.618: 1 เพียง 17% และ ไม่มีเคสที่เข้าความสัมพันธ์ Lateral incisor: Canine = 1: 0.618 เลย)

ใน paper ของ Dr.Preston ยังชี้ให้เห็นถึงจุดอ่อนในการวัดใน paper ของ Dr.Edwin I. Levin ปี ค.ศ.1978 ทำให้การใช้ Grid lines เพี้ยนด้วยครับ ลองเข้าไปอ่านดู

ในภาพแสดงให้ดูว่า cast ของคนที่ไม่เข้า Golden proportion ก็ยังเข้ากับ Grid lines ได้

ชื่อ paper นี้ของ Dr.Preston ในปี ค.ศ.1993 คือ The Golden Proportion Revisited

ลองดู Superimpose Preston proportion กับ Golden proportion จะเห็นว่า ต่างกันมาก ไม่ค่อยไปด้วยกันเลย

ของจริงที่เจอในฟันธรรมชาติ Dr.Preston พบว่า ratio ของ Lateral incisor = 66% ของ Central incisor และ Canine = 84% ของ Lateral

นั่นคือ Preston proportion = 100%: 66%: 55.44% = 1: 0.66: 0.55 (~ 1: 0.7: 0.5) ซึ่งใกล้เคียงกับค่า 70%RED proportion มาก

รูปแสดงการ Superimpose ทั้ง 2 proportion จะเห็นว่า เกือบซ้อนทับกันพอดี (ต่างกันตรง distal ของซี่ 2 และ mesial ของซี่ 3 เท่านั้น)

ข้อสรุปสุดท้ายคือ

ปัจจุบัน Golden proportion ถูกลดรูปให้เป็นส่วนนึงของ RED proportion

1. ในฟันที่สั้น (w/h ratio < 66%) จะใช้ 80% RED prop (ratio C:L:canine = 1.25: 1: 0.8)

2. ฟันที่มี Clinical crown ปกติ ให้ใช้ 70% RED (1.4: 1: 0.7) จะออกมาดูดีสุด

3. กลุ่ม Tall teeth ใช้ 60% RED (หรือ Golden proportion) (1.6: 1: 0.6) ได้

4. ในฟันธรรมชาติ หาคนที่เข้าได้กับ Golden proportion ได้น้อยมาก ดังนั้นการจะปรับเปลี่ยนฟันหรือทำอะไรกับสัดส่วนฟันหน้าบนคนไข้ ให้ยึดลักษณะเฉพาะของคนแต่ละคน ไม่ควรยึดตาม Esthetic proportion ใดๆ แบบขาดความยืดหยุ่นครับ

(ให้เข้าใจว่า RED ไม่ได้มีค่าที่ fix เฉพาะ 3 ค่า ในข้อ 1,2,3 เท่านั้นนะครับ แต่เราสามารถปรับไปมาได้ ระหว่าง 62-80% ครับ)

ผมลองทดสอบโดยสุ่มหยิบรูปที่บอกว่า เข้ากับ Golden proportion มารูปนึง

เจอจากที่นี่ครับ

https://dental.thedawsonacademy.com/golden-proportion-of-dentistry

รูปนี้